Lecciones de geometría afín
por José Manuel Rodríguez Sanjurjo, Jesús María Ruiz Sancho,
- Editorial: Sanz y Torres, S.L.
- Edición: 1ª 2026
- Idiomas: Español, Castellano
- Plaza de edición: ALCORCÓN , España
Materias:
-
Papel:
- ISBN: 979-13-88351-00-6
- Páginas: 128
- Dimensiones: 170 cm x 240 cm
- Encuadernación: Rústica
Disponible
pvp.35,00 €
-
Formato electrónico:
- ISBN: 979-13-88351-01-3
- Formato: pdf
- Tamaño: 5.827 KB
-
Permisos:
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Disponible
pvp.15,00 €
Información detallada:
Resumen del libro
La Geometría Afín trata del paralelismo y la semejanza, y es por tanto tan antigua como las matemáticas griegas. Sin embargo, basta leer el V postulado de Euclides para entender que se considerara un aspecto de la Geometría Euclídea, y no se distinguiera de ella. Luego, con el extraordinario ?orecimiento de la Geometría Proyectiva, pasó a ser un objeto parcial de esta última. Incluso, por su tratamiento analítico, se ha considerado simplemente Álgebra Lineal, de la que la Geometría Proyectiva es la versión geométrica avanzada. La consecuencia es que la Geometría Afín se ha desarrollado con especi?cidad propia muy tardíamente, como muestran las referencias temporales que jalonan ese desarrollo. Las resumi¬mos a continuación.
El cali?cativo afín no apareció hasta mediados del siglo XVIII, cuando en 1748 lo utiliza Euler para señalar relaciones que no involucran mediciones ni ángulos. Después aparecen las coordenadas baricéntricas, a principios del XIX, ideadas en 1827 por Augustus Ferdinand Möbius (1790-1868) para situar centros de gravedad. Ya a ?nales del XIX Felix Klein (1849-1925) propone su famoso Programa de Erlangen en 1872, que entre otras cosas muestra cómo distinguir qué propiedades deben considerarse a?nes. Pero la de?nición formal de espacio afín no llega hasta principios del siglo XX, cuando en 1918 la introduce Hermann Weyl (1885-1955) en su libro Space, Time and Matter. Y la exuberancia matemática del siglo XX se dedicó después a asuntos mayores.
Un patrón similar se ha repetido en la literatura y la docencia. Necesaria, pero siempre relegada a un papel de apoyo. Ha habido introducciones puramente analíticas al ?nal de un curso de Álgebra Lineal, o presentaciones minimalistas al comienzo de uno de Geometría Proyectiva. En lo tocante a la docencia, esto suele ser consecuencia de las di?cultades que surgen en el aula para cubrir los programas previstos. Lo que hoy se imparte en los grados de Matemáticas son cursos de Geometría Lineal, que incluyen la afín y la proyectiva. Y partes variables de las dos se cubren también en otros grados de Ciencias e Ingenierías.
Hemos escrito estas notas a partir de las clases que de esta materia impar-timos durante muchos años en el Departamento de Geometría y Topología de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid. Hemos querido hacer un libro de texto para su uso directo en el aula. Su exposi-ción debe ocupar un par de meses en el mejor de los casos y apenas uno en las situaciones más apuradas. Los objetivos son:
• De?nir espacio afín mediante una acción vectorial sobre un conjunto de puntos, para distinguir puntos y direcciones. Introducir las variedades a?nes y estudiar sus incidencias: paralelismo y fórmula de Grassmann.
• De?nir las aplicaciones a?nes y sus derivadas. De?nir proyecciones paralelas y a?nidades. Introducir el grupo afín, y sus elementos más distinguidos: traslaciones y homotecias, trasvecciones y dilataciones, simetrías.
• Introducir coordenadas mediante referencias a?nes cartesianas, para tratar con ecuaciones los problemas a?nes. Expresar la proporciones mediante la razón simple de tres puntos alineados y la interpolación lineal.
• Tratar la clasi?cación de aplicaciones a?nes con ecuaciones para hacerla un problema de semejanza de matrices con restricciones, y resolverlo utilizando formas canónicas de Jordan.
• De?nir las cuádricas a?nes, sus ceros, centros, singularidades, tangencias y polaridad. Clasi?carlas mediante ecuaciones reducidas. En particular des¬cribir todas las cónicas y todas las super?cies cuádricas.
Estos contenidos se desgranan en siete capítulos, de los que son indispensables los tres primeros y el quinto. El capítulo cuarto se puede omitir, pero teníamos necesariamente que dedicar algunas páginas a la razón simple y la interpolación. Los dos capítulos sobre clasi?cación de a?nidades y de cuádricas pueden reducirse a las de?niciones y el enunciado de los resultados principales. Estos ajustes se sugieren para gestionar las limitaciones de tiempo que suelen padecerse.
El requisito previo necesario es un curso de Algebra Lineal: matrices, espacios vectoriales y aplicaciones lineales, formas de Jordan, formas bilineales y formas cuadráticas. Nosotros utilizamos como referencia:
[AL] J.F. Fernando, J.M. Gamboa, J.M. Ruiz: Algebra lineal (2 volúmenes). Sanz y Torres: Madrid 2019.
En todo caso, lo que se explica aquí se sistematiza y comprende adecuada-mente en el espacio proyectivo. En él se uni?ca, completa y entiende de verdad la geometría. La consecuencia más provechosa de la lectura de estas notas ser´?a el deseo y la necesidad de aprender Geometría Proyectiva. En realidad, este texto está pensado como preparación para el siguiente:
[GP] J.M. Rodríguez-Sanjurjo, J.M. Ruiz: Lecciones de Geometría Proyectiva. Sanz y Torres: Madrid 2020.
Como complemento a la teoría expuesta, cada capítulo ?naliza con una lista de ejercicios de di?cultad variable, y al ?nal del texto hay otra de problemas adicionales: casi 100 enunciados en total. También hay una colección de cuestiones rápidas “verdadero/falso” que deberían poder responderse (bien) sin necesitar casi re?exión.
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Finalmente, debemos agradecer a muchos amigos y colegas las conversaciones, incluso discusiones, sobre qué explicar de estos temas y cómo, para superar las limitaciones de los programas. Mencionamos en especial a Concepción Fuertes, José M. Gamboa y José F. Ruiz. También queremos recordar a nuestro compañero José María Sánchez-Abril, quien nos enseñó la Geometría Afín y Proyectiva que hemos enseñado luego nosotros.
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